Polinomio de Taylor

Polinomio de Taylor

   

Un polinomio de Tayor sirve para hacer aproximaciones de una función de forma polinómica en un punto

Vamos a utilizar la funcion coseno para entender este concepto

Para hacer polinomio de Taylor, tendremos que derivar la función coseno.

f(x)=  cos x

f(x)`=  -sen(x)

f'''(x)= - cos(x)

f''''(x)=  sen(x) 

f''''(x)= cos (x); Es la misma que la función normal, por lo tanto paramos aquí.

Vamos a hacer la serie de Taylor en x=0

f(0)= cos 0=1

f'(0)=-sen(0)=0

f''(0)=-cos(0)=-1

f'''(0)=sen(0)=0

f''''(0)= cos (0)=1

El polinomio de Taylor se haria de la siguiente forma:

 P(x)=c₀+c₁x+c₂x²+c₃x³+c₄x⁴

c_0,1,2,3,4= Son la información que nos dan las derivadas en ese punto

El coseno en el punto 0 vale 1: f(x)=cos x : f(0)= cos 0 = 1

Así que en nuestro polinomio tendra que empezar por 1 cuando x=0; por lo tanto c₁=1

La derivada de la funcion en x=0 es 0, por lo tanto c₂=0

En lo tercero ya viene lo dificil, la x de la derivada primera de la funcion se va porque esta multiplicada por cero, pero en la segunda derivada en x=0 vale 1, por lo tanto, para hacer la aproximacion correcta, hay que derivar el polinomio dos veces

Centremonos solo en el término que tiene x con exponente 2

c₂x²; Derivamos este polinomio dos veces y obtenemos que es 2c₂; La idea es que las derivadas de las dos funciones sean iguales, es decir f'''(0)=P''(0)

Por lo tanto sustiyendo queda: -1=2c₂;c₂=-(1/2)

Haciendo lo mismo con la tercera y cuarta derivada

Queda el siguiente Polinomio: P(x)= 1-(1/2)x²+(1/24)x⁴

Estos son los procedimientos para obtener el polinomio de taylor, en esta imagen se pueden apreciar los calculos y, la grafica verde es el polinomio que hemos calculado, la grafica azul, es la función coseno

Veamos que tal son las aproximaciones, usemos el x=0'1

P(0.1)=0.9950041667

Ahora usemos la función coseno

f(0.1)=0.9950041653

La diferencia es practicamente nula. Esta es una de las utilidades de las series de Taylor, se suele aplicar sobre todo a ejercicios de física.