Numeros Complejos

Introduccion a los Numeros Complejos

Para introducir los números complejos usaremos la siguiente ecuación: x²+1=0.

Si intentas resolver esta ecuación, obtendras que x²=-1; esto quiere decir que un número al cuadrado da resultado a un número negativo. Esto no es posible en el campo de los números reales ya que ningún numero elevado a un exponente par da como resultado un número negativo.

Lo que se obtiene es que x=(-1)^1/2 ; esta definición solo tendra sentido en el campo de los números complejos.

Y para empezar hay que definir que es un número complejo

Un número complejo es un par ordenado de numeros reales (a,b) siendo a y b dos números cualesquiera. Al número complejo se le suele denominar z. Pongamos un ejemplo

z=(3,-2) ; a suele denominarse como la parte real (3) y b como la parte imaginaria (-2)

Operacion suma de numeros

z₁=(a,b)=(-3,2)

z₂=(c,d)=(2,1)

z₁+z₂=(a+c,b+d)=(-3+2,2+1)=(-1,3)

Multiplicación de complejos

z₁*z₂=(ac-bd,ad+bc)=(-3*2-2*1,-3*1+2*2)=(-8,1)

Vamos a poner un ejemplo, para obtener una forma más facil de poner los números complejos:

(a,0)+(x,0)=(a+x,0)

(a+0)*(x,0)=(ax-0,0+0)=(ax,0)

Si se fija, al poner segunda componente 0, la suma se comporta exactamente igual que con los numeros reales, y la multiplicación. Por lo tanto (a,0)=a, porque solo tiene componente real.

Definamos entonces como (0,1)=i ya que:

yi=(y,0)*(0,1)=(0-0,y+0)

yi=(0,y)

Tomemos un número complejo

(a,b)=(a,0)+(0,b)=a+bi ( Nueva nomenclatura )

Por lo tanto, los complejos se pueden escribir por ahora con dos formas.

z=(a+b)=a+bi

Ahora hagamos un comentario:

i²=i*i=(0,1)*(0,1)=(0-1,0+0)=(-1,0); Usando la definición anterior: i²=-1

De aqui se define esto como que I es la raiz cuadrada de -1.

(a+bi)*(c+di)=ac+adi+bci+bdi²=ac-bd+i(ad+bc) ( Propiedad distributiva)

Notaciones polar o trigonómetrica de un complejo

El argumento de un complejo, es en el plano complejo, el ángulo que forma el complejo desde el origen. Arg z= x+2π n siendo n un numero entero.

Usando coordenadas polares

Definimos el sen (Arg z)= b/r y cos (Arg z)= a/r siendo r la distancia del origen al punto que forma el complejo, esto es trigonómetria básica.

Por lo tanto

a=r cos (Arg z)

b=r sen(Arg z)

Y usando teorema de Pitagoras: r=(a²+b²)^1/2

Con estas definiciones, si sustituimos:

bi=risen(Arg z)

z=(a,b)=a+bi=(rcos(Arg z) + risen(Arg z))=r(cos(Arg z ) + isen(Arg z))

Por lo tanto tenemos tres métodos por ahora de nombrar un complejo, el último lo hare en la siguiente entrada de números complejos.